Question

16．在数列{a_n}中，S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求证：数列{c_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）若b_n=a_n+1-2a_n，利用数列的递推关系，结合等比数列的定义，利用构造法即可证明数列{b_n}是等比数列；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，利用作差法结合等差数列的定义即可证明数列{c_n}是等差数列．

解答 证明：（1）∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
∴S_n+1=4a_n+1．两式作差得：
S_n+1-S_n=4a_n+1-4a_n-1-1=4a_n-4a_n-1．
故a_n+1=4a_n-4a_n-1．
即a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1），
即b_n=2b_n-1，n≥2，
则数列{b_n}是公比q=2的等比数列；
（2）由（1）知数列{a_n+1-2a_n}是公比q=2的等比数列；
∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
∴S₂=4a₁+1=4+1=5，
即1+a₂=5，解得a₂=5-1=4．
则a₂-2a₁=4-2=2，
即数列{a_n+1-2a_n}的首项为2，则a_n+1-2a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
则当n≥2时，c_n-c_n-1=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$为常数，
即数列{c_n}是公差d=$\frac{1}{2}$的等差数列．

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的判断，利用数列的递推关系，进行变形是解决本题的关键．考查学生的推理能力．