Question

设F1(-1，0)，F2(1，0)，动点M满足|MF1|+|MF2|=2

2

．
（1）求M的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=

7

7

(x-1)与曲线C交于A、B两点，求

F1A

•

F1B

的值．

Answer 1

分析：（1）直接由椭圆的定义得到所求动点M的轨迹为椭圆，由已知条件求出a和c，继而求出b的值，则轨迹方程可求；
（2）联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，由根与系数关系得到两交点的横纵坐标的和与积，写出向量的坐标表示，展开数量积运算，代入根与系数关系后整理得答案．

解答：解：（1）设动点M（x，y），
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），∴|MF1|+|MF2|=2

2

＞2=|F1F2|，
则M的轨迹为以F₁，F₂为焦点，以2

2

为长轴的椭圆，
则a=

2

，c=1，b2=a2-c2=1．
方程为：

x2

2

+y2=1；
（2）联立

y= 7 7 (x-1) x2 2 +y2=1

，得9x²-4x-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4

9

，x1x2=-

12

9

．

F1A

=(x1+1，y1)，

F1B

=(x2+1，y2)，
∴

F1A

•

F1B

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）
=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=

8

7

x1x2+

6

7

(x1+x2)+

8

7

=

8

7

×(-

12

9

)+

6

7

×

4

9

+

8

7

=0．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．