Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{（m+1）^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，P是该双曲线上的点，P在该双曲线两渐近线上的射影分别是A、B，则|PA|•|PB|的值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 运用离心率公式，解方程可得m=1，求得渐近线方程，设P（s，t），可得s²-4t²=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{（m+1）^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{（m+1）^{2}+{m}^{2}}{（m+1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
解得m=1，
即双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
渐近线方程为x±2y=0，
设P（s，t），可得s²-4t²=4，
由题意可得|PA|•|PB|=$\frac{|s+2t|}{\sqrt{1+4}}$•$\frac{|s-2t|}{\sqrt{1+4}}$
=$\frac{|{s}^{2}-4{t}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简整理的运算能力，属于中档题．