Question

在数列{a_n}中，已知a1=-2，an+1=-

2an+12

an+5

；bn=

1

an+3

，n∈N*．
（Ⅰ）求b₁，b₂及b_n；
（Ⅱ）求证：

n

k=1

1

bk

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由an+1=-

2an+12

an+5

求得a₂，再由bn=

1

an+3

可求得b₁，b₂，由bn=

1

an+3

可得b_n+1与b_n的递推式，由该递推式可构造等比数列{b_n+1}，从而可求得b_n+1，进而得到b_n；
（Ⅱ）由

1

bn

=

1

2n-1

，知n≥2时，

1

bn

=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

，据此对不等式进行放缩可证明，注意检验n=1时情形；

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=-2，∴a2=-

2a1+12

a1+5

=-

-4+12

-2+5

=-

8

3

，
∴b₁=

1

a1+3

=

1

-2+3

=1，b₂=

1

a2+3

=

1

- 8 3 +3

=3，
∵bn+1=

1

an+1+3

=

1

- 2an+12 an+5 +3

=

an+5

an+3

=1+

2

an+3

=2bn+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
于是{b_n+1}是以b₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，
故bn+1=2×2n-1=2ⁿ，即bn=2n-1；
（Ⅱ）∵

1

bn

=

1

2n-1

，
∴当n≥2时，

1

bn

=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

，
∴

n

k=1

1

bk

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＜2；
n=1时，

1

b1

=1＜2成立，
∴

n

k=1

1

bk

＜2．

点评：本题考查数列递推式求数列通项、数列与不等式，考查学生分析解决问题的能力，解决（Ⅱ）问的关键是利用放缩对数列进行求和．