Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，求T_n
（Ⅲ）若T_n≤γa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数γ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列的定义证明数列，并求数列的通项公式．
（Ⅱ）利用裂项法求数列的和．（Ⅲ）将不等式条件T_n≤γa_n+1转化为γ≥

Tn

an+1

，进而求实数γ的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
a_n+1=S_n-S_n-1+1=a_n+1，（n≥2，n∈N^*）．所以a_n+1-a_n=1，
又因为a₂-a₁=3-2=1，所以数列{a_n}是公差为1的等差数列，首项为2．
所以a_n=2+n-1=n+1．
（Ⅱ）因为

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
（Ⅲ）因为T_n≤γa_n+1，所以

n

2(n+2)

≤γ(n+2)，即

n

2(n+2)2

≤γ．
因为

n

2(n+2)2

=

n

2(n2+4n+4)

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2(4+2 n? 4 n )

=

1

2×8

=

1

16

，
当且仅当n=

4

n

，即n2=4，n=2取等号．
所以γ的最小值为

1

16

    …（10分）

点评：本题主要考查了等差数列的定义以及通项公式，以及利用裂项法求数列的前n项和．运算量较大，要求熟练掌握相关的公式．