Question

9．椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆M上任一点，且|PF₁||PF₂|最大值的取值范围是[2c²，3c²]，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则椭圆离心率e取值的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，|PF₁|•|PF₂|的最大值为a²，则由题意知2c²≤a²≤3c²，由此能够导出椭圆m的离心率e的取值范围，即可求出椭圆离心率e取值的最大值．

解答 解：∵|PF₁|•|PF₂|的最大值=a²，
∴由题意知2c²≤a²≤3c²，
∴$\sqrt{2}$c≤a≤$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故椭圆离心率e取值的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆的简单性质．考查对基础知识的综合运用．|PF₁|•|PF₂|的最大值=a²是正确解题的关键．