【题目】椭圆的右焦点为
,且短轴长为
,离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点为椭圆
与
轴正半轴的交点,是否存在直线
,使得
交椭圆
于
两点,且
恰是
的垂心?若存在,求
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)根据短轴长和离心率可求,从而得到椭圆的标准方程;
(2)假设存在直线,则其斜率为
,设
的方程为
,
,由
为垂心可得
,联立直线方程和椭圆方程,消去
后利用韦达定理可得关于
的方程,解该方程后可得所求的直线方程.
(1)设椭圆的方程为
,则由题意知
,所以
.
,解得
,所以椭圆
的方程为
.
(2)由(1)知,的方程为
,所以
,
所以直线的斜率
,假设存在直线
,使得
是
的垂心,则
.
设的斜率为
,则
,所以
.
设的方程为
,
.
由,得
,
由,得
,
.
因为,所以
,因为
,
所以,
即,
整理得,
所以,
整理得,解得
或
,
当时,直线
过点
,不能构成三角形,舍去;
当时,满足
,
所以存在直线,使得
是
的垂心,
的方程为
.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A(2,4)
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,o)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
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【题目】已知定义域为的奇函数
,满足
,下面四个关于函数
的说法:①存在实数
,使关于
的方程
有
个不相等的实数根;②当
时,恒有
;③若当
时,
的最小值为
,则
;④若关于
的方程
和
的所有实数根之和为零,则
.其中说法正确的有______.(将所有正确说法的标号填在横线上)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=2,直线CA与平面ABD所成角的正弦值为,求二面角E-AD-C的余弦值.
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【题目】某数学小组到进行社会实践调查,了解到某公司为了实现1000万元利润目标,准备制定激励销售人员的奖励方案:在销售利润超过10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识,设计了如下的函数模型,其中符合公司要求的是(参考数据:,
)( )
A.B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系中,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
为参数
,直线
与曲线
分别交于
两点.
(1)若点的极坐标为
,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形周长的最大值.
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