Question

【题目】设函数，函数为的导函数．

（1）若，都有成立（其中），求的值；

（2）证明：当时，；

（3）设当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）求导，利用对应项系数相等求即可即可

（2）证明等价证明，构造函数求最值即可证明

（3）讨论，恒成立，转化为证明，构造函数，求导求最值，证明当时不成立，当时，利用（2）放缩证明h(x)在区间上是单调递减函数即可求解，当时，构造函数，证明不成立即可求解

（1），则

因为，即恒成立（其中），

则，，即，且

（2）当时，要证即证，

令，则，

当时，，即在区间上是单调递增函数，

当时，，即在区间上是单调递减函数，

则当时，，即当时，，也即，

所以当时，

（3）当，本题无意义，显然不成立，

所以不合题意，

当时，等价于，

由题设，此时有，

当时，若，则有，此时不成立，

即不成立，所以不合题意，

当时，令，

则等价于，即当且仅当，

，

又由（1）得，即，代入上式得：

，

①当时，由（2）知，即，

则

，此时函数h(x)在区间上是单调递减函数，

则，即恒成立，此时符合题意，

②当时，令，则，

又，则，即函数在区间上是单调递增函数，

即，也即，

则

当时，有，即函数在区间上是单调递增函数，

所以，即，所以不合题意，

综上可得，所求实数a的取值范围为