Question

要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．
（I）如果水池底面一边的长度为x米，用x表示另一边的长度和水池的总造价y（y的单位元）；
（ II）当x取何值时能使水池总造价y最低？最低总造价是多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由水池的容积和高度求出底面积，一边长为x，用底面积除以x得另一边长．然后由矩形面积公式求出底面和侧面的面积，分别乘以造价作和后得总造价；
（Ⅱ）利用基本不等式求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）水池容积为4800m³，深为3m，则底面积为

4800

3

m²，
水池底面一边的长度为x米，则另一边的长度为

4800

3x

m．
水池的总造价等于池底造价150×

4800

3

与池壁造价120(2×3x+2×3×

4800

3x

)的和．
即y=150×

4800

3

+120(2×3x+2×3×

4800

3x

)=240000+729(x+

1600

x

)，（x＞0）．
（Ⅱ）由y=240000+720(x+

1600

x

)≥240000+720×2

x• 1600 x

=240000+720×2×40=297600．
当x=

1600

x

，即x=40时，y有最小值297600．
因此，当水池是底面边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了简单的建模思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．