Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值是（　　）

• A．

  3 5

  5

• B．1
• C．

  2 5

  5

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：分别以AB、AC、AA₁为xyz轴，建立如图坐标系，设AF=a，AD=b，得F、D的坐标关于a、b的形式，从而得到向量的坐标

GD

和

EF

的坐标，由

GD

•

EF

=0列式并化简，解出

1

2

a+b=

1

2

，从而将

|DF|

化简为

1

2

5a2-2a+1

，结合二次函数的性质可得线段DF的长度的最小值．

解答：解：分别以AB、AC、AA₁为xyz轴，建立如图坐标系，
设AF=a，AD=b，则F（a，0，0），D（0，b，0）
由已知条件，得E（0，1，

1

2

），G（

1

2

，0，1）
∴

GD

=（-

1

2

，b，-1），

EF

=（a，-1，-

1

2

）
∵

GD

⊥

EF

∴

GD

•

EF

=(- 

1

2

 ，b ，-1)•(a ， -1 ， -

1

2

)=0，
化简，得

1

2

a+b=

1

2

，
而

|DF|

=

a2+b2

，把b=-

1

2

a+

1

2

代入上式化简得：

|DF|

=

a2+ 1 4 (1-a)2

=

1

2

5a2-2a+1

∴当a=

1

5

时，

|DF|

的最小值为

5

5

故选：D

点评：本题给出特殊直三棱柱中两条空间直线垂直，求动点距离的最小值，着重考查了空间位置关系与距离、利用空间向量求距离最值等知识，属于中档题．