Question

17、“已知数列{a_n}为等差数列，它的前n项和为S_n，若存在正整数m，n（m≠n），使得S_m=S_n，则S_m+n=0”．类比上述结论，补完整命题：“已知正项数列{b_n}为等比数列，

它的前n．项积为T_n，若存在正整数m，n．（m≠n），使得T_m=T_n，则T_m+n=1．

．”

Answer 1

分析：这是一个类比推理的问题，在类比推理中，等差数列到等比数列的类比推理方法一般为：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，由“已知数列{a_n}为等差数列，它的前n项和为S_n，若存在正整数m，n（m≠n），使得S_m=S_n，则S_m+n=0”．类比推理可得：“已知正项数列{b_n}为等比数列，它的前n．项积为T_n，若存在正整数m，n．（m≠n），使得T_m=T_n，则T_m+n=1．

解答：解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：
加减运算类比推理为乘除运算，
累加类比为累乘，
故由“已知数列{a_n}为等差数列，它的前n项和为S_n，若存在正整数m，n（m≠n），使得S_m=S_n，则S_m+n=0”．
类比推理可得：
“已知正项数列{b_n}为等比数列，它的前n．项积为T_n，若存在正整数m，n．（m≠n），使得T_m=T_n，则T_m+n=1．
故答案为：它的前n．项积为T_n，若存在正整数m，n．（m≠n），使得T_m=T_n，则T_m+n=1．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．