Question

13．已知复数z=（m-1）+（2m+1）i（m∈R）
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用纯虚数的定义即可得出．
（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．

解答 解：（1）∵z=（m-1）+（2m+1）i（m∈R）为纯虚数，
∴m-1=0且2m+1≠0∴m=1…（4分）
（2）z在复平面内的对应点为（m-1，2m+1））
由题意：$\left\{\begin{array}{l}m-1＜0\\ 2m+1＞0\end{array}\right.$，∴$-\frac{1}{2}＜m＜1$．
即实数m的取值范围是$（-\frac{1}{2}，1）$．…（7分）
而|z|=$\sqrt{{{（m-1）}^2}+{{（2m+!）}^2}}$=$\sqrt{5{m^2}+2m+2}$=$\sqrt{5{{（m+\frac{1}{5}）}^2}+\frac{9}{5}}$，
当$m=-\frac{1}{5}∈$$（-\frac{1}{2}，1）$时，${|z|_{min}}=\sqrt{\frac{9}{5}}$=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．…（10分）

点评 本题考查了纯虚数的定义、复数模的计算公式、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．