Question

4．已知$f（x）=|{\begin{array}{l}{ax}&x\\{-2}&{2x}\end{array}}|（a$为常数），$g（x）=\frac{{2{x^2}+1}}{x}$，且当x₁，x₂∈[1，4]时，总有f（x₁）≤g（x₂），则实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{6}]$．

Answer 1

分析 依题意可知，当x₁，x₂∈[1，4]时，f（x₁）_max≤g（x₂）_min，利用对勾函数的单调性质可求g（x₂）_min=g（1）=3；再对f（x）=2ax²+2x中的二次项系数a分a=0、a＞0、a＜0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f（x）在区间[1，4]上的最大值，解f（x）_max≤3即可求得实数a的取值范围．

解答 解：依题意知，当x₁，x₂∈[1，4]时，f（x₁）_max≤g（x₂）_min，
由“对勾'函数单调性知，$g（x）=\frac{{2{x^2}+1}}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$=2（x+$\frac{\frac{1}{2}}{x}$）在区间[1，4]上单调递增，
∴g（x₂）_min=g（1）=3；
∵$f（x）=|\begin{array}{l}{ax}&{x}\\{-2}&{2x}\end{array}|$=2ax²+2x，
当a=0时，f（x）=2x在区间[1，4]上单调递增，∴f（x）_max=f（4）=8≤3不成立，故a≠0；
∴f（x）=2ax²+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=-$\frac{1}{2a}$，
当a＞0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）_max=f（4）=8≤3不成立，故a＞0不成立；
当a＜0时，
1°若-$\frac{1}{2a}$≤1，即a≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[1，4]上单调递减，
f（x）_max=f（1）=2a+2≤3恒成立，即a≤-$\frac{1}{2}$时满足题意；
2°若1＜-$\frac{1}{2a}$＜4，即-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{8}$时，f（x）_max=f（-$\frac{1}{2a}$）=-$\frac{1}{2a}$≤3，解得：-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{6}$；
3°若-$\frac{1}{2a}$≥4，即-$\frac{1}{8}$≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，
f（x）_max=f（4）=32a+8≤3，解得a≤-$\frac{5}{32}$∉（-$\frac{1}{8}$，0），故不成立，
综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：（-∞，-$\frac{1}{6}$]．
故答案为：$（-∞，-\frac{1}{6}]$．

点评 本题考查函数恒成立问题，由题意分析出当x₁，x₂∈[1，4]时，f（x₁）_max≤g（x₂）_min是关键，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算能力，属于难题．