Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C （如图2）．



（1）求证：A₁D丄平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60⁰？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵正△ABC的边长为3，且

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

∴AD=1，AE=2，
△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得
DE=

12+22-2×1×2×cos60°

=

3

∵AD²+DE²=4=AE²，∴AD⊥DE．
折叠后，仍有A₁D⊥DE
∵二面角A₁-DE-B成直二面角，∴平面A₁DE⊥平面BCDE
又∵平面A₁DE∩平面BCDE=DE，A₁D?平面A₁DE，A₁D⊥DE
∴A₁D丄平面BCED；
（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°
如图，作PH⊥BD于点H，连接A₁H、A₁P
由（1）得A₁D丄平面BCED，而PH?平面BCED
所以A₁D丄PH


∵A₁D、BD是平面A₁BD内的相交直线，
∴PH⊥平面A₁BD
由此可得∠PA₁H是直线PA₁与平面A₁BD所成的角，即∠PA₁H=60°
设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=

x

2

，PH=PBsin60°=

3

2

x
在Rt△PA₁H中，∠PA₁H=60°，所以A₁H=

x

2

，
在Rt△DA₁H中，A₁D=1，DH=2-

1

2

x
由A₁D²+DH²=A₁H²，得1²+（2-

1

2

x）²=（

1

2

x）²
解之得x=

5

2

，满足0≤x≤3符合题意
所以在线段BC上存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60°，此时PB=

5

2

．