Question

已知函数f（x）=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）g（x）为关于f（x）的二次函数，可用换元法，转化为二次函数在特定区间上的最值问题，定区间动轴；
（2）由（1）可知a≥3时，h（a）为一次函数且为减函数，求值域，找关系即可．

解答：解：（1）由f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
知f(x)∈[

1

3

，3]，
令f(x)∈[

1

3

，3]
设f（x）=t，则g（x）=y=t²-2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：
①当a≤

1

3

时，g（x）的最小值h（a）=

28

9

-

2a

3

②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③当

1

3

＜a＜3时，g（x）的最小值h（a）=3-a²
综上所述，h(a)=

28 9 - 2a 3 a≤ 1 3 3-a2 1 3 ＜a＜3 12-6aa≥3

（2）当a≥3时，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数，
所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]．
由题意，则

h(m)=n2 h(n)=m2

?

-6m+12=n2 -6n+12=m2

，
两式相减得6n-6m=n²-m²，
又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，
故不存在满足题中条件的m，n的值．

点评：本题主要考查一次二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，“定轴动区间”、“定区间动轴”．