Question

若命题甲为：(

1

2

)x，

2

2x

，2x成等比数列，命题乙为：lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列，则甲是乙的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：根据等差中项和等比中项列式，结合充分必要条件的定义加以判断，不难得到甲是乙的充要条件．

解答：解：充分性
若(

1

2

)x，

2

2x

，2x成等比数列，则(

2

2x

)2=(

1

2

)x•2^x
∴2^2-2x=1，解之得x=1
此时，数列lgx，lg（x+1），lg（x+3）为lg1，lg2，lg4，满足成等差数列
所以充分性成立；
必要性
若lgx，lg（x+1），lg（x+3）成等差数列，则2lg（x+1）=lgx+lg（x+3）
即（x+1）²=x（x+3），解之得x=1
此时，数列(

1

2

)x，

2

2x

，2x为

1

2

，1，2，满足成等比数列
所以必要性成立．
故选：C

点评：本题给出有关数列的两个命题，要我们判断两个命题间的充要关系，着重考查了等差中项、等比中项和充分必要条件的判断等知识，属于基础题．