Question

在△ABC中，a²-c²=2b，且4cosAsinC=sinB．
（1）求b；
（2）若S_△ABC=2

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角形的面积公式,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）通过正弦定理以及余弦定理化简已知表达式，然后求出的b值．
（2）由已知及正弦定理可求cosA=

sinB

4sinC

=

1

c

，得sin²A=1-

1

c2

，由S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，可解得c=2，即可求得a，从而可求周长．

解答： 解：（1）在△ABC中，由sinB=4cosAsinC可得 sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC，
化简可得sinAcosC=3cosAsinC，
∴由余弦定理可得：a•

a2+b2-c2

2ab

=3c•

b2+c2-a2

2bc

，即 2b²=4a²-4c²．
再由a²-c²=2b，可得 2b²=8b，
∴b=4，
（2）∵由（1）可得b=4，
∵4cosAsinC=sinB．
∴由正弦定理可得：cosA=

sinB

4sinC

=

b

4c

=

1

c

，可得sin²A=1-

1

c2

∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，
∴两边平方可得：12=

1

4

b²c²sin²A，化简可得：c²-1=3，可解得：c=2，
∴由a²-c²=2b，可得a=2

2

∴△ABC的周长=a+b+c=2

2

+2+4=6+2

2

．

点评：本题主要考查诱导公式、正弦定理以及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力及转化思想，属于中档题．