Question

设z₁，z₂∈C．
（1）求证：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2|z₁|²+2|z₂|²；
（2）设|z₁|=3，|z₂|=5，|z₁+z₂|=6，求|z₁-z₂|．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）左边=(z1+z2)(

.

z1

+

.

z2

)+(z1-z2)(

.

z1

-

.

z2

)，展开即可证明；
（2）由（1）的结论可得：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2|z₁|²+2|z₂|²；代入即可得出．

解答： （1）证明：左边=(z1+z2)(

.

z1

+

.

z2

)+(z1-z2)(

.

z1

-

.

z2

)=2z1

.

z1

+2z2

.

z2

=2|z1|2+2|z2|2=右边，∴左边=右边；
（2）解：由（1）的结论可得：|z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2|z₁|²+2|z₂|²；
∴62+|z1-z2|2=2（3²+5²），
∴|z₁-z₂|=4

2

．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．