Question

已知函数，其中.
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，试确定函数的单调区间.

Answer 1

（1）当时，函数有极小值；（2）当 时，的单调减区间为，单调增区间为，；当 时，函数在单调递增；当 时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．

试题分析：（1）若，求函数的极值，把代入得函数，求它的极值，首先求定义域，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当时，试确定函数的单调区间，由于含有指数函数，可通过求导数来确定函数单调区间，因此先确定函数的定义域为，对函数求导，令，解不等式即可，但由于含有参数，需对参数讨论，分，，三种情况讨论，从而确定出单调区间．
（1）函数的定义域为，且.        1分
.           3分
令，得，当变化时，和的变化情况如下：

	↘	↘		↗

      5分
故的单调减区间为，；单调增区间为．
所以当时，函数有极小值.                      6分
（2）因为 ，所以 ，
所以函数的定义域为，             7分
求导，得，  8分
令，得，，                            9分
当 时，，
当变化时，和的变化情况如下：

	↗		↘		↗

故函数的单调减区间为，单调增区间为，．  11分
当 时，，
因为，（当且仅当时，）
所以函数在单调递增.                                     12分
当 时，，
当变化时，和的变化情况如下：

	↗		↘		↗

 
故函数的单调减区间为，单调增区间为，．
综上，当 时，的单调减区间为，单调增区间为，；当 时，函数在单调递增；当 时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．                     13分