Question

8．如图，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F恰好是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则双曲线的离心率是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把$\frac{p}{2}$=c代入整理得c⁴-6a²c²+a⁴=0等式两边同除以a⁴，得到关于离心率e的方程，进而可求得e．

解答 解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F
∴两条曲线交点为（$\frac{p}{2}$，p），即（c，p）
代入双曲线方程得化简得 c⁴-6a²c²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²
∴e=$\sqrt{2}$+1
故答案为$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意与椭圆的区别．