Question

过点的直线交直线于，过点的直线交轴于点，，.

（1）求动点的轨迹的方程；

(2)设直线l与相交于不同的两点、，已知点的坐标为(－2,0)，点Q(0，)在线段的垂直平分线上且≤4，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)综上所述，且≠0.

【解析】

试题分析：(1)由题意，直线的方程是，∵，∴的方程是

若直线与轴重合，则，若直线不与重合，可求得直线的方程是，与的方程联立消去得，因不经过，故动点动的轨迹的方程是 6分

(2)设(x₁，y₁)，直线l的方程为y＝k(x＋2)于是、两点的坐标满足方程组 由方程消去y并整理得(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0由－2x₁＝得x₁＝，从而y₁＝设线段的中点为N，则N(，) 8分

以下分两种情况：①当k＝0时，点的坐标为(2,0)，线段的垂直平分线为y轴，

于是，由≤4得：.

②当k≠0时，线段的垂直平分线方程为 y－＝－(x＋)令x＝0，

得m＝∵，∴，

由＝－2x₁－m(y₁－m)＝＋ (＋)＝≤4

解得∴m＝＝  11分

∴当

当时，≥4

∴

综上所述，且≠0.…13分

考点：本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算，均值定理的应用。

点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（1）求椭圆方程时，应用了参数法，并对可能的情况进行了讨论。（2）则在应用韦达定理的基础上，将m用k表示，并利用均值定理，逐步求得m的范围。