Question

在△ABC中，已知，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为________．

Answer 1

分析：设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C=90°，再由，S_△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量 ，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用 利用基本不等式求解最小值．
解答：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵，S_△ABC=6
∴bccosA=9，bcsinA=6
∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 =（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设 ，则||=||=1，，
由=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12
==（7+）≥
故所求的最小值为．
故答案为：．
点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．