Question

幂指函数y=[f（x）]^g（x）在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g（x）•lnf（x），两边同时求导得

y/

y

=g/(x)lnf(x)+g(x)

f/(x)

f(x)

，于是y′=[f(x)]g(x)[g/(x)lnf(x)+g(x)

f/(x)

f(x)

]，运用此方法可以探求得知y=x

1

x

的一个单调递增区间为（　　）

A．（0，2）

B．（2，3）

C．（e，4）

D．（3，8）

Answer 1

分析：利用所给的方法，求导函数，令导数大于0，可确定y=x

1

x

的一个单调递增区间，即可选出正确选项．

解答：解：设f（x）=x，g（x）=

1

x

所以f′（x）=1，g′（x）=-

1

x2

所以，y′=x

1

x

×（-

1

x2

lnx+

1

x2

）=

1-lnx

x2

×x

1

x

∵x＞0，∴x

1

x

＞0，x²＞0
令y′＞0，可得只要 1-lnx＞0
∴x∈（0，e）
∴y=x

1

x

的一个单调增区间为（0，e）或它的一个子集即可，
故选A．

点评：本题重点考查新定义的运用，考查利用导数确定函数的单调性，解题的关键是利用新定义求出导函数．