Question

【题目】若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=﹣f（x），则下列结论： ①f（x）的图象关于点 对称；
②f（x）的图象关于直线 对称；
③f（x）是周期函数，且2个它的一个周期；
④f（x）在区间（﹣1，1）上是单调函数．
其中正确结论的序号是 ． （填上你认为所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x）， ∴函数是以2为周期的周期函数，故③是正确的．
∵f（x）为定义域为R的奇函数，
∴f（x）函数图象关于原点对称，
∵f（x）为周期函数，周期为2且f（1+x）=﹣f（x），
∴f（x）函数图象关于点（k，0）（k∈Z）对称，故①不对．
∵f（1+x）=﹣f（x）
∴f（x+ ）=f（x﹣ +1）=﹣f（x﹣ ）=f（ ﹣x）
∴f（x）的图象关于直线 对称，故②正确．
f（x）在区间（﹣1，0）上和在（0，1）上均为单调函数，但在（﹣1，1）不是单调函数，故④不正确．
【考点精析】认真审题，首先需要了解奇偶性与单调性的综合(奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性)．