Question

【题目】函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜＜4，|φ|＜ ）过点（0， ），且当x= 时，函数f（x）取得最大值1．
（1）将函数f（x）的图象向右平移 个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，如果对于x1 ， x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），求|x1﹣x2|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意A=1，将点（0， ）代入解得 ， ，

再根据 ，结合0＜＜4，

所以=2， ．

将函数f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 的图象

（2）解：函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1=2sin（2x+ ），故函数的周期T=π．

对于x1，x2∈R，都有h（x1）≤h（x）≤h（x2），故|x1﹣x2|的最小值为

【解析】（1）由函数的最值求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．（2）由条件利用正弦函数的最值以及周期性，求得|x1﹣x2|的最小值．
【考点精析】掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换是解答本题的根本，需要知道图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．