Question

【题目】已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；

（3）若定义域为，解不等式.

【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）

【解析】试题分析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数在（-1，1）为单调函数，

原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义（-1，1）求解得x范围。

试题解析：（1）函数为奇函数．证明如下：

定义域为

又

为奇函数

（2）函数在（-1，1）为单调函数．证明如下：

任取，则

，

即

故在（-1，1）上为增函数

（3）由（1）、（2）可得

则

解得：

所以，原不等式的解集为

【点睛】

（1）奇偶性：判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。

（2）单调性：利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，定号，下结论五个步骤。

【题型】解答题
【结束】
22

【题目】已知函数.

（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；

（2）若在区间上是减函数，且对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）先利用二次函数的性质确定函数的单调递减区间为，故在单调递减，然后由定义域与值域列出等式关系，从而求解即可；（2）由（1）可知，初步确定的取值范围，然后确定时函数的最大值，从中求解不等式组即可；（3）将“对任意的，都存在，使得成立”转化为时，的值域包含了在的值域，然后进行分别求在的值域，从集合间的包含关系即可求出的取值范围.

试题解析：（1）∵

∴在上单调递减，又，∴在上单调递减，

∴，∴，∴4分

（2）∵在区间上是减函数，∴，∴

∴，

∴时，

又∵对任意的，都有，

∴，即，也就是

综上可知8分

（3）∵在上递增，在上递减，

当时，，

∵对任意的，都存在，使得成立

∴

∴，所以13分