Question

【题目】已知函数f（x）=x2eax ．
（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）在（1）条件下，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=2ex﹣ ，求证：当a=1，对x∈（0，1），g（x）﹣xf（x）＞2恒成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=eax（ax2+2x），令f'（x）=0可得，x=0或 ． 又a＜0，则可知f（x）在（﹣∞，0）和 上单调递减；在 上单调递增．
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当 ，即﹣2≤a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，
则f（x）最大值为f（1）=ea；
当 ，即a＜﹣2时，f（x）在 单调递增，在 上单调递减，
则f（x）的最大值为 ．
（Ⅲ）要证g（x）﹣xf（x）＞2，即证 ，
令h（x）=（2﹣x3）ex ， 则h'（x）=（﹣x3﹣3x2+2）ex=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），
又x∈（0，1），可知在x∈（0，1）内存在极大值点，又h（0）=2，h（1）=e，
则h（x）在x∈（0，1）上恒大于2，（11分）
而 在x∈（0，1）上恒小于2，因此g（x）﹣xf（x）＞2在x∈（0，1）上恒成立
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据a的符号，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最值即可；（Ⅲ）问题转化为证明 ，令h（x）=（2﹣x3）ex ， 求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．