Question

【题目】已知椭圆 的半焦距为 ，原点 到经过两点 的直线的距离为 .

（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）如图， 是圆 的一条直径，若椭圆 经过 两点，求椭圆 的方程.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）过点 的直线方程为 ，

则原点 到直线的距离 ，

由 ，得 ，解得离心率 .

（Ⅱ）由（1）知，椭圆 的方程为 .

依题意，圆心 是线段 的中点，且 .

易知， 不与 轴垂直.

设其直线方程为 ，代入（1）得

.

设 ，则 ， .

由 ，得 ，解得 .

从而 .

于是 .

由 ，得 ，解得 .

故椭圆 的方程为 .

【解析】(1)根据题意由点到直线的距离公式可得出代入，联立可求出离心率即可。(2)由(1)设出椭圆的方程再设出直线AB的方程联立，借助韦达定理求出x1 + x2、x1x2关于k的代数式代入到弦长公式中即可求出b2的值，进而得到椭圆的方程。
【考点精析】通过灵活运用点到直线的距离公式和椭圆的标准方程，掌握点到直线的距离为：；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．