【题目】已知椭圆 的半焦距为
,原点
到经过两点
的直线的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆 的离心率;
(Ⅱ)如图, 是圆
的一条直径,若椭圆
经过
两点,求椭圆
的方程.
【答案】解:(Ⅰ)过点 的直线方程为
,
则原点 到直线的距离
,
由 ,得
,解得离心率
.
(Ⅱ)由(1)知,椭圆 的方程为
.
依题意,圆心 是线段
的中点,且
.
易知, 不与
轴垂直.
设其直线方程为 ,代入(1)得
.
设 ,则
,
.
由 ,得
,解得
.
从而 .
于是 .
由 ,得
,解得
.
故椭圆 的方程为
.
【解析】(1)根据题意由点到直线的距离公式可得出
代入
,联立可求出离心率即可。(2)由(1)设出椭圆的方程再设出直线AB的方程联立,借助韦达定理求出x1 + x2、x1x2关于k的代数式代入到弦长公式中即可求出b2的值,进而得到椭圆的方程。
【考点精析】通过灵活运用点到直线的距离公式和椭圆的标准方程,掌握点到直线
的距离为:
;椭圆标准方程焦点在x轴:
,焦点在y轴:
即可以解答此题.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为梯形,CD∥AB,AB=2CD,AC交BD于O,锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.
(1)求证:PA∥平面QBD;
(2)求证BD⊥AD.
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【题目】已知函数的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求出函数的一个解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数的周期为
,当
时,方程
恰有两个不同的解,求实数
的取值范围。
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【题目】从2017年1月18日开始,支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福,敬业福),除夕夜
,每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某髙校一个社团在年后开学后随机调査了80位该校在读大学生,就除夕夜
之前是否集齐五福进行了一次调查(若未参与集五福的活动,则也等同于未集齐五福),得到具体数据如下表:
(1)计算这80位大学生集齐五福的频率,并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数;
(2)为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动,该大学的学生会从集齐五福的学生中,选取2位男生和3位女生逐个进行采访,最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上,求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.
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【题目】已知函数f(x)=x2eax .
(Ⅰ)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)在(1)条件下,求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值;
(Ⅲ)设函数g(x)=2ex﹣ ,求证:当a=1,对x∈(0,1),g(x)﹣xf(x)>2恒成立.
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【题目】命题p:x∈(﹣∞,0),2x>3x;命题q:x∈(0,+∞), >x3; 则下列命题中真命题是( )
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.(¬p)∨(¬q)
D.p∧(¬q)
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【题目】函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<<4,|φ|< )过点(0,
),且当x=
时,函数f(x)取得最大值1.
(1)将函数f(x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x),求函数g(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x﹣1,如果对于x1 , x2∈R,都有h(x1)≤h(x)≤h(x2),求|x1﹣x2|的最小值.
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【题目】若分别为P(1,0)、Q(2,0),R(4,0)、S(8,0)四个点各作一条直线,所得四条直线恰围成正方形,则该正方形的面积不可能为( )
A.
B.
C.
D.
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