Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC．

（1）求证：PA∥平面QBD；
（2）求证BD⊥AD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OQ，因为AB∥CD，AB=2 CD，

所以AO=2OC，又PQ=2QC，

所以PA∥OQ，

又OQ平面QBD，PA平面QBD，

所以PA∥平面QBD

（2）

证明：在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PH平面PAD，所以PH⊥平面ABCD
又BD平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，
且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD，
又AD平面PAD，所以BD⊥AD．

【解析】（1）连接OQ，可得PA∥OQ，即可证得PA∥平面QBD．
（2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD⊥平面PAD，即BD⊥AD．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．