Question

【题目】在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， .
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？
（Ⅱ）设曲线 与曲线 的交点为 ， ， ，当 时，求 的值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 得 ，该曲线为椭圆.

（Ⅱ）将 代入 得 ，由直线参数方程的几何意义，设 ， ， ， ，

所以 ，从而 ，由于 ，所以

【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得到椭圆的标准方程。(2)根据题意把直线的参数方程代入到椭圆的方程得到关于t的二次方程，利用韦达定理求出 t1 + t2 ， t1t2 的代数式利用已知得出 | PA | + | P B | = | t1 t2 |=，代入解出 cos2 α的值结合角的取值范围即可得到cos α的值即可。