Question

【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°，AC=2a，E，F分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE
（1）求证：AB⊥平面AEC′；
（2）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，
①若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；
②在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠CAB=90°，E，F 分别为AC，BC 的中点，

所以EF⊥AE，EF⊥C'E．

又因为AE∩C'E=E，所以EF⊥平面AEC'．

由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．

（2）解：①取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，

由于GD 为△ABC'中位线，以及EF 为△ABC 中位线，

所以四边形DEFG 为平行四边形．

直线GF 与AC'所成角就是DE 与AC'所成角．

所以四棱锥C'﹣ABFE 体积取最大值时，C'E 垂直于底面ABFE．

此时△AEC'为等腰直角三角形，

ED 为中线，所以直线ED⊥AC'．

又因为ED∥GF，所以直线GF 与AC'所成角为 ．

② 因为四棱锥C'﹣ABFE 体积取最大值，

分别以EA、EF、EC'所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，

则C'（0，0，a），B（a，2a，0），F（0，a，0），C'B（a，2a，﹣a），C'F（0，a，﹣a）．

设平面C'BF 的一个法向量为 =（x，y，z），

由 得，取y=1，得 =（﹣1，1，1）．

平面C'AE 的一个法向量 =（0，1，0）．

所以cos＜ ＞= = ，

故平面C'AE与平面C'BF的平面角的夹角的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出EF⊥AE，EF⊥C'E，从而EF⊥平面AEC'，由此能证明AB⊥平面AEC'．（2）①取AC'中点D，连接DE，EF，FG，GD，推导出四边形DEFG 为平行四边形，直线GF 与AC'所成角就是DE 与AC'所成角，由此能求出直线GF 与AC'所成角．②分别以EA、EF、EC'所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面C'AE与平面C'BF的平面角的夹角的余弦值．