Question

【题目】数列{an}中，定义：dn=an+2+an﹣2an+1（n≥1），a1=1．
（1）若dn=an ， a2=2，求an；
（2）若a2=﹣2，dn≥1，求证此数列满足an≥﹣5（n∈N*）；
（3）若|dn|=1，a2=1且数列{an}的周期为4，即an+4=an（n≥1），写出所有符合条件的{dn}．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an=dn=an+2+an﹣2an+1（n≥1），

∴an+2﹣2an+1=0（n≥1）；

又∵a1=1，a2=2，

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

故数列{an}的通项公式为 ；

（2）解：证明：∵dn≥1，

∴an+2+an﹣2an+1≥1，

令cn=an+1﹣an，则

cn+1﹣cn≥1，

叠加得，cn≥n﹣4；

即an+1﹣an≥n﹣4，

叠加可得， ≥﹣5．

（3）解：由于|dn|=1，a1=1，a2=1，

若d1=1，则可得a3=2，

若d1=﹣1可得a3=0；

同理，若d2=1可得a4=4或a4=2，

若d2=﹣1可得a4=0或a4=﹣2；

具体如下表所示，

1，1， ；

所以{an}可以为1，1，2，2；1，1，2，2；1，1，2，2；…

或1，1，0，0；1，1，0，0；1，1，0，0；…

此时相应的{dn}为1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，…

或﹣1，1，1，﹣1，﹣1，1，1，﹣1，…．

【解析】（1）化简可得an+2﹣2an+1=0（n≥1）；从而检验可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，从而求得；（2）由dn≥1，构造cn=an+1﹣an ， 从而可得cn+1﹣cn≥1，从而可得an+1﹣an≥n﹣4，从而可得 ≥﹣5．（Ⅲ）由|dn|=1，a1=1，a2=1讨论求a3 ， a4 ， a5 ， 从而归纳可得．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．