Question

【题目】如图所示，某镇有一块空地，其中， ， 。当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在的周围安装防护网.

（1）当时，求防护网的总长度；

（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定 的大小；

（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）防护网的总长度为（2）

【解析】试题分析:(1)首先根据直角三角形中,得到,结合,由余弦定理可求得的值,利用勾股定理证得,由此证得三角形为等边三角形,从而求出周长.(2) 设,根据的面积是堆假山用地的面积的倍列方程,求得的值,在中利用正弦定理求得值,两个值相等,由此求得的值.(3) 在中，利用正弦定理求得的值,利用三角形面积公式写出面积的表达式,并利用三角函数值域来求面积的最小值.

试题解析:

（1）在中， ， ， ， ，

在中， ，

由余弦定理，得，

，即， ，

为正三角形，所以的周长为，

即防护网的总长度为.

（2）设， ，

，即，

在中，由，得，

从而，即，由，

得， ，即 .

（3）设，由（2）知，

又在中，由，得，

，

当且仅当，即时，

的面积取最小值为 .