【题目】随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年龄”45岁为分界点,由以上统计数据完成下面 列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若从年龄在 和
的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在
的概率.
参考数据如下:
附临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值:
(其中
)
【答案】解:(Ⅰ)根据条件得 列联表:
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | 10 | 27 | 37 |
不赞成 | 10 | 3 | 13 |
合 计 | 20 | 30 | 50 |
根据列联表所给的数据代入公式得到:
所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
(Ⅱ)解:按照分层抽样方法可知: 抽取:
(人);
抽取:
(人)
在上述抽取的6人中,年龄在 有2人,年龄
有4人.
年龄在 记为
;年龄在
记为
,则从6人中任取3名的所有情况为:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共20种情况,
其中至少有一人年龄在 岁情况有:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
,共16种情况.
记至少有一人年龄在 岁为事件
,则
∴至少有一人年龄在 岁之间的概率为
【解析】(1)由图表可知求出样本方差的值进行对比得出结论。(2)利用分层抽样得出在每个年龄阶段的人数为6人,根据题意列举出从6人中任取三人的情况有20种,结合同意可得至少有一人在 [ 55 , 65 )的情况有16种,利用概率的定义求出其值即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解分层抽样的相关知识,掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本.
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【题目】已知函数f(x)=2 sin(
ωx)cos(
ωx)+2cos2(
ωx)(ω>0),且函数f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为梯形,CD∥AB,AB=2CD,AC交BD于O,锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.
(1)求证:PA∥平面QBD;
(2)求证BD⊥AD.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC三个顶点坐标为A(7,8),B(10,4),C(2,-4).
(1)求BC边上的中线所在直线的方程;
(2)求BC边上的高所在直线的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1)根据中点坐标公式求出中点
的坐标,根据斜率公式可求得
的斜率,利用点斜式可求
边上的中线所在直线的方程;(2)先根据斜率公式求出
的斜率,从而求出
边上的高所在直线的斜率为
,利用点斜式可求
边上的高所在直线的方程.
试题解析:(1)由B(10,4),C(2,-4),得BC中点D的坐标为(6,0),
所以AD的斜率为k==8,
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y-0=8(x-6),
即8x-y-48=0.
(2)由B(10,4),C(2,-4),得BC所在直线的斜率为k==1,
所以BC边上的高所在直线的斜率为-1,
所以BC边上的高所在直线的方程为y-8=-(x-7),即x+y-15=0.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知直线l:x-2y+2m-2=0.
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程;
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4,求实数m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点P(0,1)在圆C:x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内,若存在过点P的直线交圆C于A、B两点,且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍,则实数m的取值范围为 .
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【题目】已知数列 的前
项和为
,且满足
,求数列
的通项公式.勤于思考的小红设计了下面两种解题思路,请你选择其中一种并将其补充完整.
思路1:先设 的值为1,根据已知条件,计算出
,
,
.
猜想: .
然后用数学归纳法证明.证明过程如下:
①当 时, , 猜想成立
②假设 (
N*)时,猜想成立,即
.
那么,当 时,由已知
,得
.
又 ,两式相减并化简,得
(用含
的代数式表示).
所以,当 时,猜想也成立.
根据①和②,可知猜想对任何 N*都成立.
思路2:先设 的值为1,根据已知条件,计算出
.
由已知 ,写出
与
的关系式:
,
两式相减,得 与
的递推关系式:
.
整理: .
发现:数列 是首项为 , 公比为的等比数列.
得出:数列 的通项公式
, 进而得到
.
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【题目】已知函数的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求出函数的一个解析式;
(2)根据(1)的结果,若函数的周期为
,当
时,方程
恰有两个不同的解,求实数
的取值范围。
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【题目】从2017年1月18日开始,支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福,敬业福),除夕夜
,每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某髙校一个社团在年后开学后随机调査了80位该校在读大学生,就除夕夜
之前是否集齐五福进行了一次调查(若未参与集五福的活动,则也等同于未集齐五福),得到具体数据如下表:
(1)计算这80位大学生集齐五福的频率,并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数;
(2)为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动,该大学的学生会从集齐五福的学生中,选取2位男生和3位女生逐个进行采访,最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上,求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.
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【题目】函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<<4,|φ|< )过点(0,
),且当x=
时,函数f(x)取得最大值1.
(1)将函数f(x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x),求函数g(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x﹣1,如果对于x1 , x2∈R,都有h(x1)≤h(x)≤h(x2),求|x1﹣x2|的最小值.
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