Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．
（1）求证：B、E、F、N四点共圆；
（2）求证：AC2+BFBM=AB2 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结BN，则AN⊥BN，

又CD⊥AB，

则∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，

则B、E、F、N四点共圆

（2）证明：由直角三角形的射影原理可知AC2=AEAB，

由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知： ，

∴BFBM=BABE=BA（BA﹣EA），

∴BFBM=AB2﹣ABAE，

∴BFBM=AB2﹣AC2，即AC2+BFBM=AB2．

【解析】（1）连结BN，证明∠BEF+∠BNF=180°，即可证明B、E、F、N四点共圆；（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AEAB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知： ，即可得出结论．