Question

设定义在区间[-1，1]上的偶函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=

a

3

(x-2)-4(x-2)3 （0＜a＜36），求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：根据函数是一个偶函数，f（x） 在区间[-1，1]上的最大值与最小值，实际上分别等于f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值，f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称，f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值，也就是g（x）在区间[2，3]上的最大值与最小值，利用导数求g（x）在区间[2，3]上的最大值与最小值，得到结果．

解答：解：∵f（x）为定义在区间[-1，1]上的偶函数，
∴f（x） 在区间[-1，1]上的最大值与最小值，
实际上分别等于f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值．
∵f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x） 在区间[-1，0]上最大值与最小值，也就是g（x）在区间[2，3]上的最大值与最小值．（4分）
g′(x)=

a

3

-12(x-2)2．
∵0＜a＜36，
∴g′（x）=0的二根为2±

a

6

，其中2＜2+

a

6

＜3，2-

a

6

＜2．
∴列表如下：

x	[2，2+ a 6 )	2+ a 6	(2+ a 6 ，3]
g′（x）	＞0	=0	＜0
g（x）	↗	a a 27	↘

∴(f(x))max=(g(x))max=g(2+

a

6

)=

a a

27

．(f(x))min=(g(x))min=min(g(2)，g(3))=

a 3 -4，0＜a≤12 0，12＜a＜36

（13分）

点评：本题考查导数在求最值中的应用和函数的奇偶性及对称性，本题解题的关键是通过分析函数的性质，看出题目的实质，再利用导数求最值．