Question

在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（　　）

A．（0， 1 6 ]

B．（0， 1 3 ]

C．（0， 1 2 ]

D．（0，1）

Answer 1

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设三棱锥的底面为α．
在正方体的表面上，离三棱锥底面α最远的点，一定可以在正方体的顶点处取得．此时，三棱锥的体积最大．固定住这个点，以这个点为三棱锥底面的一个点，则三棱锥的顶点一定可以在正方体的顶点处取得，同理，三棱锥体积最大时，三个顶点必在正方体的顶点处取得．
故正方体8个顶点中四个顶点形成三棱锥的体积最大的那个即为所求．
由于三棱锥四个顶点不共面，故在面ABCD和面A₁B₁C₁D₁中，分别可能有三棱锥的（1，3），（2，2），（3，1）个顶点，其中（1，3）和（3，1）是对称的．
故只需讨论（3，1）和（2，2）的情形．
若为（3，1），在底面，不妨取A、B、D顶点可为A₁、B₁、C₁、D₁，三棱锥体积都为V=

1

3

•S△ABD•h=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

，

若为（2，2）
则在底面可取A、B或A、C．
若为A、B，顶面可取（A₁，C₁），（A₁，D₁），三棱锥体积V=

1

3

S•h=

1

6

．

若为A、C，则顶点可取B₁D₁此时
VD-ACD1=VD1-ACD∴

1

3

×

3

4

×

2

2•h=

1

3

×

1

2

×1×1×1∴h=

3

3

∴hB1-ACD1=B1D-h=

2 3

3

V=

1

3

S△ACD1•hB1-ACD1=

1

3

•

3

4

•(

2

)2

2 3

3

=

1

3

故选B．