Question

（2013•黄冈模拟）设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，点P为曲线y=-

1

3x2

(x＜0)上动点，则点P到点（a，b）的最小距离为（　　）

• A．

  7 13

  13

• B．O
• C．

  7 13

  26

• D．1

Answer 1

分析：作出可行域，可得目标函数取最值时的条件，可得关于ab的式子，求曲线的切线，由平行线间的距离公式可得结论．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线z=ax+by（a＞0，b＞0）过直线3x-y-6=0与直线x-y+2=0的交点A（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大8，即4a+6b=8，
化简可得2a+3b=4，即点（a，b）在直线2x+3y-4=0上运动，
∵点P为曲线y=-

1

3x2

(x＜0)上动点，对函数求导数可得y′=

2

3x3

，
令

2

3x3

=-

2

3

可解得x=-1，代入曲线可得y=-

1

3

，
故曲线上与直线2x+3y-4=0平行的切线过点（-1，-

1

3

），斜率为-

2

3

，
∴切线的方程为y+

1

3

=-

2

3

（x+1），整理可得2x+3y+3=0，
由两平行线间的距离公式可得d=

|-4-3|

22+32

=

7 13

13

，
∴点P到点（a，b）的最小距离为

7 13

13

，
故选A

点评：本题考查简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属中档题．