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    12．如图，椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$，点P（0，1）在短轴CD上，且$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}=-2$
    （Ⅰ） 求椭圆E的方程及离心率；
    （Ⅱ） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

    分析 （Ⅰ）由已知可得点C，D的坐标分别为（0，-b），（0，b）．结合$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-2列式求得b，则椭圆方程可求，进一步求出c可得椭圆的离心率；
    （Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，可知当λ=2时，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，仍有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7，故存在常数λ=2，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值-7．

    解答 解：（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，-b），（0，b）．
    又点P的坐标为（0，1），且$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-2，即1-b2=-2，
    解得b2=3．
    ∴椭圆E方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
    ∵c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，∴离心率e=$\frac{1}{2}$；
    （Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
    联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，得（4k2+3）x2+8kx-8=0．
    其判别式△＞0，
    x1+x2=$\frac{-8k}{{4{k^2}+3}}$，x1x2=$\frac{-8}{{4{k^2}+3}}$．
    从而，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1-1）（y2-1）]
    =（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
    =$\frac{{-8（{1+λ}）（{1+{k^2}}）-4{k^2}+3}}{{4{k^2}+3}}$=$\frac{4-2λ}{{4{k^2}+3}}$-2λ-3，
    当λ=2时，$\frac{4-2λ}{{4{k^2}+3}}$-2λ-3=-7，
    即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-7为定值．
    当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
    此时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7，
    故存在常数λ=2，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值-7．

    点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．

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