Question

12．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，与双曲线的渐近线交于C、D两点，若|AB|=$\frac{3}{5}$|CD|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系进行求解即可．

解答 解：当x=c时代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，则A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），则AB=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
将x=c代入y=±$\frac{b}{a}x$得y=±$\frac{bc}{a}$，则C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
则|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|=$\frac{3}{5}$|CD|，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{2bc}{a}$，即b=$\frac{3}{5}$c，
则b²=$\frac{9}{25}$c²=c²-a²，
即$\frac{16}{25}$c²=a²，
则e²=$\frac{25}{16}$，则e=$\frac{5}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键．