Question

已知函数f(x2-3)=lg

x2

x2-6

．
（1）求函数f（x）的定义域；                 （2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的反函数；                     （4）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值．

Answer 1

分析：（1）整体代换的思路用换元法求解析式，设x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函数，求出f（t），即f（x）的表达式
（2）通过（1）的解析式判断奇偶性，判断定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）之间的关系，根据函数奇偶性的定义进行证明．
（3）将f（x）看成关于x的方程，通过解方程求出x，然后将x，y互换得到f（x）的反函数．
（4）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．

解答：解：（1）设x²-3=t（t＞-3），
所以原函数转化为f（t）=lg

t+3

t-3

，
由

t+3

t-3

＞0得定义域为{t|t＞3}
即f（x）=lg

x+3

x-3

，定义域为{x|x＞3}

（2）因为f（x）的定义域是（3，+∞）
所以函数f（x）是非奇非偶函数
（3）由f（x）=lg

x+3

x-3

得
x=

3(10y+1)

10y-1

(y∈(0，+∞))
所以f（x）的反函数是f-1(x)=

3(10x+1)

10x-1

(x∈(0，+∞))
（4）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg

φ(x)+3

φ(x)-3

=lgx
即：

φ(x)+3

φ(x)-3

=x
解得：φ（x）=

3x+3

x-1

则：φ（3）=6

点评：本题考查复合函数的定义域及单调性的求解，第三问为创新型题目，为中档题