Question

在△ABC中，（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），其中a、b、c是内角A、B、C的对边，则△ABC的性状为（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．正三角形

D．等腰或直角三角形

Answer 1

分析：利用两角和与差的三角函数以及正弦定理，化简整理推出sin2A=sin2B，从而得出A与B的关系，由此即可判断出三角形的形状．

解答：解：∵（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC，
∴（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）=（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB），
可得sinAcosB（a²+b²-a²+b²）=cosAsinB（a²-b²+a²+b²）．
即2b²sinAcosB=2a²cosAsinB…（*）
根据正弦定理，得bsinA=asinB．代入（*）式，化简得bcosB=acosA．
即2RsinBcosB=2RsinAcosA，（2R为△ABC外接圆的半径）
化简得sin2A=sin2B，
∴A=B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°
因此△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D

点评：本题给出三角形的边角关系式，判断三角形的形状．着重考查了三角形形状的判断、两角和与差的三角函数公式和正弦定理等知识，属于中档题．