Question

设a＞0，函数y=|log_ax|的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]定义“区间[m，n]的长度等于n-m”，若[m，n]的长度最小值为

5

6

，则实数a的值为

6

．

Answer 1

分析：在坐标平面内先画出函数f（x）=log_ax的图象，然后根据函数图象的对折变换法则，画出函数y=|log_ax|的图象，结合函数图象及区间[m，n]的长度定义，结合[m，n]的长度最小值为

5

6

，分类讨论后，可得答案．

解答：解：在坐标平面内先画出函数f（x）=log_ax的图象，
再将其图象位于x轴下方的部分“翻折”到x轴的上方，
与f（x）本身不在x轴下方的部分共同组成函数g（x）=|log_ax|的图象，
∵g（1）=0，g（a）=g (

1

a

)=1，
结合图形可知，要使函数g（x）的值域是[0，1]，
其定义域可能是 [

1

a

，1]、[1，a]、[

1

a

，a]，
且1-

1

a

=

a-1

a

＜a-1，
因此结合题意知1-

1

a

=

5

6

，
a=6．
故答案为6

点评：本题考察的知识点是对数函数的性质，及函数图象的对折变换，为了方便分析，我们可以画出满足条件的图象，根据图象分析出正确的答案．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等．