Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，

2

)为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；
（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（-2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，C的一个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，
使|QT|=|QF₁|，根据双曲线的定义|TF₂|=2，再利用相关点代入法求出轨迹方程即可．
（3）直线与双曲线联立，进而可构造f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，从而直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根，根据AB的中点，可得直线L的方程，从而可求b的取值范围．

解答：解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0．
∵该直线与圆x2+(y-

2

)2=1相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，
∵双曲线C的一个焦点为(

2

，0)，
∴2a²=2，a²=1．
∴双曲线C的方程为x²-y²=1．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；
若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|．
根据双曲线的定义，|TF₂|=2，
所以点T在以F₂(

2

，0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)．     ①
由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（x_T，y_T），
则

x= xT- 2 2 y= yT 2

即

xT=2x+ 2 yT=2y.

代入①并整理，得点N的轨迹方程为 x2+y2=1(x≠

2

2

)．
（3）由

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根，
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0.

解得1＜m＜

2

．
又AB的中点为(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直线L的方程为y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．
令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，
∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)．
∴故b的取值范围是(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的有关性质与定义，以及求轨迹方程的方法（如相关点代入法），考查直线与双曲线的位置关系．