Question

设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．
（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；
（2）若∥，求sin（2θ+）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量数量积的坐标公式列式并化简，得sinθcosθ=．再由同角三角函数的平方关系，可得（sinθ+cosθ）²的值，结合θ为锐角，开方即得sinθ+cosθ的值；
（2）根据两个向量平行的充要条件列式，化简得tanθ=2．再由二倍角的正、余弦公式，结合弦化切的运算技巧，算出sin2θ和cos2θ的值，最后根据两角和的正弦公式，可得sin（2θ+）的值．
解答：解：（1）∵•=2+sinθcosθ=，∴sinθcosθ=．    …（2分）
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=．
又∵θ为锐角，∴sinθ+cosθ=（舍负）．               …（5分）
（2）∵∥，
∴2×cosθ=sinθ×1，可得tanθ=2．             …（7分）
∴sin2θ=2sinθcosθ===，
cos2θ=cos²θ-sin²θ===-．…（11分）
所以sin（2θ+）=sin2θ+cos2θ=×+×（- ）=．          …（14分）
点评：本题以平面向量数量积运算为载体，考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式等知识，属于中档题．