Question

（本小题满分14分）如图，设椭圆经过点且与双曲线有相同的焦点，椭圆的左准线与轴交于点，为椭圆的长轴，分别为椭圆的左右焦点。（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：对于任意的割线，恒有．

（3）求:面积的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 见解析  （Ⅲ）

解析:

（1）∵，（…………1分）

∴，   又∵设椭圆经过点

   ∴（………3分）

   ∴， ∴椭圆的标准方程为．（……5分）

（2）设过点的直线方程的为，

代入椭圆方程整理得：．

，，．（………7分）

则

  ，（…9分）

而

∴，又当直线的斜率为时也适合，从而．（……10分）

（3），（………………12分）

即：，

当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

∴面积的最大值是．（………………………14分）