Question

已知定义域为R的奇函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（-1）=0，则满足xf（x）≤0的x的取值的范围为

[-1，1]

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）为奇函数且在（-∞，0）上为增函数，可得f（x）在（0，+∞）上也是增函数．由此作出草图加以理解，建立关于x的不等式组并加以分类讨论，即可得出满足条件的实数x的取值的范围．

解答：解：∵奇函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上也是增函数
∵f（-1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0
作出函数的示意图，如图所示

不等式xf（x）≤0，即

x≥0 f(x)≤0

或

x≥0 f(x)≥0

当x≥0时，不等式f（x）≤0成立，即f（x）≤f（1），结合单调性可得0≤x≤1；
当x＜0时，不等式f（x）≥0成立，即f（x）≥f（-1），结合单调性可得-1≤x＜0．
综上所述，可得满足xf（x）≤0的x的取值的范围为[-1，1]
故答案为：[-1，1]

点评：本题给出奇函数满足的条件，求解关于x的不等式，着重考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．