Question

已知数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n2(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k分别表示p和r(只要写出一组)；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）an＝2n－1(n∈N*)．（2）当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2满足题设．

【解析】(1)当n＝1时，a1＝1；当n≥2，n∈N*时，a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2，所以an＝n2－(n－1)2＝2n－1；综上所述，an＝2n－1(n∈N*)．

(2)当k＝1时，若存在p，r使，，成等差数列，则＝－＝.因为p≥2，所以ar<0与数列{an}为正数相矛盾，因此，当k＝1时不存在；

当k≥2时，设ak＝x，ap＝y，ar＝z，则，所以z＝.令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此时ak＝x＝2k－1，ap＝y＝2x－1＝2(2k－1)－1，所以p＝2k－1，ar＝z＝(2k－1)(4k－3)＝2(4k2－5k＋2)－1，所以r＝4k2－5k＋2.

综上所述，当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2满足题设．