Question

（本小题满分14分）设函数，其图象对应的曲线设为G．（Ⅰ）设、、，为经过点（2，2）的曲线G的切线，求的方程；

       （Ⅱ）已知曲线G在点A、B处的切线的斜率分别为0、，求证：；

       （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当时，恒成立，求常数的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由题设，∴，由于点（2，2）不在曲线G上，

       可设切点为，所求切线方程为，由，消去得，∴，或，即对应的切点为（0，0），或，

       当时，，，所求的切线方程为，…2分

       当时，，，所求切线方程为；…4分

       （Ⅱ）由已知，依题意有

       ，，即，

       从而、、三数中至少有一个正数一个负数，∴总有，，

       若，由有，∴，∴，

       又，∴，故得，从而，矛盾，

       ∴必有，∴ ，∴可得；………8分

       （Ⅲ）即， 整理即得，设，则

       设为的函数，由条件（Ⅱ），欲不等式恒成立，即在时恒成立，∴，∴，解得，或，

       依题意，∴，即所求的的最小值为．

       本题综合考查曲线的概念、一次函数的性质、导数的几何意义、不等式的解法与证明，属难题．