Question

已知△ABC，中a，b，c分别是A，B，C的对边，关于x的方程x²cosC+4xsinC+6＜0的解集为空集．
（1）求角C的最大值；
（2）若c=

7

2

，S=

3 3

2

，求当C最大时a+b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范围，进而根据余弦函数的单调性求得C的最大值；
（2）根据（1）中求得C，利用三角形面积公式求得ab的值，进而代入余弦定理求得a+b的值．

解答： 解：（1）∵不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集，
∴

cosC＞0 △≤0

，即

cosC＞0 16sin2C-24cosC≤0

，
整理得：

cosC＞0 cosC≤-2或cosC≥ 1 2

，
解得：cosC≥

1

2

，
∴C∈（0，60°]，
则角C的最大值为60°；
（2）当C=60°时，S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

2

，
∴ab=6，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC，
∵c=

7

2

，ab=6，cosC=

1

2

，
∴（a+b）²=c²+3ab=

121

4

，
∴a+b=

11

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．